Если написать число 113997 пять раз подряд без пробелов, а затем отбросить последнюю семёрку, то получится 29-значное простое число 11399711399711399711399711399.
Этого числа до сегодняшнего дня не было в Интернете.
Найдите все такие целые неотрицательные числа n, при которых значение выражения n!+(n+1)!+72 является точной степенью (выше первой) натурального числа.
Докажите, что других таких n нет.
Из простого числа вычли число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, которое также оказалось простым, и получили квадрат натурального числа. Каким могло быть исходное число?
Такие числа описывает последовательность A217386:
Однако там почему-то посчитали только до миллиона, а дальше то ли поленились, то ли не смогли:
Но на помощь пришла Еджипитина и нашла все такие 7-значные числа:
Привожу полный список всех 56 семизначных простых чисел (N), обладающих свойством:
(N) — простое;
число (M), полученное перестановкой цифр (N) в обратном порядке, тоже простое;
разность (N - M) — квадрат натурального числа.
Во всех этих случаях
[
N - M = 6290064 = 2508^2.
]
Ниже список в виде (N ;—; M) (исходное число — перевёрнутое):
7342501 — 1052437
7345501 — 1055437
7349501 — 1059437
7362701 — 1072637
7436411 — 1146347
7449511 — 1159447
7481911 — 1191847
7547521 — 1257457
7552621 — 1262557
7569721 — 1279657
7601131 — 1311067
7608131 — 1318067
7618231 — 1328167
7627331 — 1337267
7755641 — 1465577
7763741 — 1473677
7766741 — 1476677
7806151 — 1516087
7901161 — 1611097
7913261 — 1623197
7932461 — 1642397
7948561 — 1658497
7956661 — 1666597
7959661 — 1669597
7965761 — 1675697
7968761 — 1678697
9300103 — 3010039
9341503 — 3051439
9345503 — 3055439
9358603 — 3068539
9385903 — 3095839
9388903 — 3098839
9412213 — 3122149
9413213 — 3123149
9437413 — 3147349
9446513 — 3156449
9456613 — 3166549
9464713 — 3174649
9467713 — 3177649
9487913 — 3197849
9489913 — 3199849
9540523 — 3250459
9606133 — 3316069
9617233 — 3327169
9626333 — 3336269
9633433 — 3343369
9658633 — 3368569
9678833 — 3388769
9688933 — 3398869
9707143 — 3417079
9724343 — 3434279
9761743 — 3471679
9768743 — 3478679
9911263 — 3621199
9917263 — 3627199
9931463 — 3641399
Любое из этих чисел может служить ответом в задаче про 7-значное простое число.
В числе 9876543210 зачёркиваются цифры (от 1 до 9 штук) так, чтобы оставшееся число делилось на 4. Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, определите, сколько таких различных чисел можно получить?
Целое неотрицательное число N назовём облепиховым, если сумма десятичных цифр числа N^3+N^2 равна N.
Найдите все облепиховые числа и докажите, что других нет.
Настя написала несколько раз подряд без пробелов число 16. Затем в гости к Насте пришла Даша, увидела написанное Настей число и приписала к нему справа девятку.
Докажите, что у Даши получилось составное число.
При каких натуральных n число n^3-2 является степенью простого числа (выше первой)?
Разность 97⁽²⁰²⁵⁾ − 5⁽²⁰²⁵⁾ делится на 91. Докажите это, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
