Серия «Занимательная математика»

На самом деле теория вероятностей связана вовсе не с «неприятностями», а... с играми!

И начинается она с истории изобретения игр. Сейчас мы её вам расскажем. Садитесь поудобнее… Включайте воображение… Добавьте чуточку чувства юмора… Поехали!

Давным-давно, больше трёх тысяч лет назад, шла знаменитая Троянская война. Помните, да? Красивый, но не очень умный троянский царевич Парис украл у спартанского царя Менелая жену – Елену Прекрасную. Менелай обиделся и рассказал об этом возмутительном происшествии своему старшему брату, микенскому царю Агамемнону. Агамемнон тоже обиделся, собрал друзей со всей Греции и пошёл на Трою войной. Но город Троя был окружён неприступными высокими стенами. Осадить город греки осадили, но что делать дальше? Непонятно. На почти отвесную стену высотой в двадцать метров и так-то не особо вскарабкаешься, а уж когда в тебя швыряют копья и камни, да ещё и всякую гадость сверху льют...

В общем, сложилась ситуация «ни туда, ни сюда». Как игра в гляделки – «кто кого переглядит». В стане греков воцарились скука и безделье... А скука и безделье – страшные враги дисциплины! Царь Агамемнон срочно вызвал знаменитого мудреца Паламеда:

– Внемли и трепещи! Мы, царь Агамемнон, повелеваем тебе найти способ для борьбы с бездельем и скукой в рядах наших доблестных объединённых древнегреческих вооружённых сил! За успешное выполнение этой почти боевой задачи награжу по-царски – благодарственным письмом на официальном бланке. А за невыполнение… Время военное, понимать надо!

Думал мудрый Паламед, как и положено, три дня и три ночи и придумал замечательную игру – шашки. Игра грекам понравилась, на какое-то время скука и безделье отступили. Но вдруг царь снова требует к себе Паламеда:

– Внемли и трепещи! В твоей игре обнаружился серьёзный недостаток. В ней думать надо. И если кто с мозгами, тот всё время выигрывает. Вон как царь Итаки, хитроумный Одиссей! С ним уже даже никто играть не садится.

– Так ведь, ваше величество, – робко возразил Паламед, – можно же научиться... Теорию почитать – про дебют, про эндшпиль… Игра Каулена, ленинградская защита, треугольник Петрова...

– Что-о-о? – царь Агамемнон аж посинел от злости. – На стену под кипящую смолу захотел? Я это тебе живо устрою! Повелеваю придумать другую игру. Такую, чтобы в ней все могли выигрывать. И без этих твоих эндшпилей дурацких! Выполняй!

И снова пришлось думать мудрому Паламеду. Через три дня и три ночи явился он к Агамемнону:

– Вот, ваше величество, новая игра. Называется «кости». Видите – два костяных кубика. У них на каждой грани точки, от одной до шести. Кидаете кубики по очереди – у кого больше точек выпадет, тот и победил!

От восхищения царь с полководцами дара речи лишились. Гениально!.. Вообще думать не надо – кости думают за тебя! Так древним грекам удалось победить скуку и безделье, а в нашем мире появились игры.

С тех самых пор (а может, и не с тех, и не с самых) игры делятся на два вида. Одни требуют от игрока умения. В такие игры надо учиться играть, в них надо думать! А в других никакого умения не требуется – самый глупый может выиграть у самого умного. Только бы повезло! Всё зависит от случая. Такие вот «случайные» игры обычно называют «азартными».

В современном русском языке слово «азарт» хорошее – оно означает возбуждение, задор, пыл, страстную увлечённость. С азартом можно и примеры по математике решать, и даже щи варить. Но изначально слово «азарт» пришло к нам из французского – «hazard», где означало как раз риск, шанс, случай. Азартная игра – это игра со случаем, рискованная игра.

С одной стороны, азартные игры – это плохо. Сколько слёз и горя такие игры принесли в мир! Ради призрака «лёгкой наживы» в кости и карты проигрывали миллионные состояния, оставляли без куска хлеба собственную семью и детей, ссорились с друзьями, попадали в тюрьму и на каторгу...

Читали «Трёх мушкетёров»? Атос – казалось бы, самый благородный, самый умный из всей четвёрки – проигрывает совершенно незнакомому англичанину в кости сперва все свои деньги, затем своего боевого коня, а затем... не задумываясь, проигрывает коня своего друга Д’Артаньяна! Видите – даже самого благородного и доброго человека азартные игры могут превратить в бесхребетную тряпку.

Но есть и другая сторона – научная, математическая. И с этой стороны азартные игры – очень даже полезная вещь! Потому что именно благодаря таким играм на свет появилась теория вероятностей. Одну из первых задач теории вероятностей поставил ещё в XVI веке знаменитый итальянский математик Николо Тарталья. Как-то раз к Тарталье пришёл его знакомый, заядлый игрок в кости, и рассказал, что «самая выгодная ставка в игре – это ставка на число семь, потому что это число счастливое!». Тарталья задумался. Все числа в математике одинаковы, как же может быть так, что одно число будет «счастливое», а другое «несчастливое»? Что-то в этом не так. И учёный стал рассуждать… Если мы бросаем две игральные кости, то есть два кубика, сколько может выпасть очков? Может ли выпасть одно очко? Нет, потому что у нас две кости – даже если на одном кубике выпадет всего лишь одно очко и на втором всего лишь одно, то будет уже два очка. А сколько может быть вариантов выпадания двух очков? Только один – на первом кубике одно очко, на втором одно...

А если мы возьмём три очка? Тогда у нас получится уже два варианта: на первом кубике два очка, на втором одно, или наоборот – на первом одно очко, на втором – два... А сколько может быть вариантов выпадания той самой «счастливой семёрки»? Один и шесть, шесть и один, два и пять, пять и два, три и четыре, четыре и три – целых шесть вариантов! А значит, сосед прав – при бросании двух костей число «семь» будет выпадать примерно в три раза чаще числа три и в шесть раз чаще числа два! И это – действительно самая выгодная ставка.

Этот случай (и таблицу с результатами бросания костей) Тарталья описал в одной из своих книг. Тарталья был вовсе не единственным математиком, которого заинтересовал вопрос результата при случайной игре (в кости, карты, монетки и так далее). Например, знаменитый математик Джироламо Кардано написал целую книгу, которая так и называется: «Книга об игре в кости». Подобными задачами очень интересовался в своё время и Галилео Галилей. Книгу «О расчётах при игре в кости» написал знаменитый голландский учёный Христиан Гюйгенс. Самые знаменитые математики, астрономы, механики, философы – Исаак Ньютон, Готфрид Вильгельм Лейбниц, Якоб Бернулли, Пьер Ферма – внимательно изучали таблицы и расчёты при, казалось бы, совершенно случайном бросании костей в глупейших на свете играх...

Однако «отцом» современной теории вероятностей стал французский учёный Блез Паскаль.

И началось всё снова с дружеской беседы! Как-то раз в гости на обед к Паскалю заявился один из его друзей, Дамье Миттон, шевалье де Мере. Де Мере был страстным любителем игры в кости и карты, причём не просто любил играть в кости, но и сам то и дело изобретал всё новые и новые правила для игры.

– Ты знаешь, дружище, – сказал он Паскалю, – у меня из головы не идёт один загадочный случай... Я тут в очередной раз экспериментировал с новыми правилами, и вот какая таинственная история у меня получилась. Я каждый вечер играю со своими друзьями в кости в «Золотой шишке», и вот какие правила я придумал не так давно: я бросаю четыре игральные кости. Если при этом выпадает хотя бы одна шестёрка, то я выиграл. Если не выпадает ни одной шестёрки – я проиграл. По этим правилам мы играли несколько дней – и чем больше я играл, тем больше выигрывал. В конце концов мы с друзьями чуть было из-за этого не поссорились; мы подумали, что с этими правилами что-то не так, и решили больше по ним никогда не играть. Но ты же знаешь меня – я всегда изобретаю что-нибудь новенькое. И тогда я подумал: раз из четырёх костей шестёрка выпадает хотя бы один раз так, что позволяет мне выигрывать часто, тогда почему бы мне не загадать две шестёрки, только с большего количества бросков? И я предложил такие правила игры: я бросаю два кубика двадцать четыре раза подряд. Если при этом одновременно выпадает две шестёрки (хотя бы раз!), то я выиграл. Если нет – то проиграл. Мы стали играть по этим правилам – и я, похоже, ошибся! Потому что чем больше я играл – тем больше проигрывал!

– Кости, карты... Всё это простое везение, случай! – сухо заметил Паскаль.

– Нет-нет, дружище! Ты же не просто философ, ты математик! – горячо возразил де Мере. – Здесь что-то кроется! Как выпадают кости – это случай, но что-то мне подсказывает, что и случай может подчиняться научным законам!

Слова де Мере о том, что всесильной науке может подчиняться даже его величество Случай, Паскалю очень понравились. И он начал размышлять – почему же в первый раз де Мере выигрывал больше, чем проигрывал, а во второй раз всё вышло с точностью до наоборот? Хотя правила были так похожи...

Прежде всего Паскаль, как настоящий математик, решил избавиться от игральных кубиков и перевести их на язык чисел – результатов броска, «исходов», «элементарных событий»:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

С такой записью мы можем легко изобразить «кубик» хоть с двумя, хоть с тремя, хоть с двадцатью гранями (хотя таких кубиков в природе не бывает). Скажем, бросок монетки («орёл или решка», «1 или 2») будет записываться изящно и чётко: {1, 2} Но как математически описать выигрыш или проигрыш в игре?

И тогда Паскалю в голову приходит блестящая идея: пусть, если некое событие происходит всегда, мы будем записывать в результате единицу (P = 1). А если то же самое событие никогда не происходит, мы будем записывать в результате ноль (P = 0). Скажем, «при бросании двух кубиков сумма очков всегда больше единицы» – ведь это так, правда? Значит, для события «сумма очков больше единицы» эта величина... как бы её назвать? а давай назовём-ка её вероятность! – эта величина равна единице. Потому что сумма очков на двух кубиках всегда больше единицы. И наоборот – при бросании двух костей для события «сумма очков равна единице» вероятность будет равна нулю! Всё по той же причине – сумма очков на двух кубиках всегда больше одного...

– Как описать математически то, что при бросании кубика выпала шестёрка? – рассуждал Паскаль. – Да очень просто – из нашего набора {1, 2, 3, 4, 5, 6} мы выбираем только событие {6}! А такое может произойти только в одном случае из шести, то есть вероятность выпадания шестёрки будет равна дроби 1/6! А вероятность противоположного события – то есть вероятность выпадания любого другого числа {1, 2, 3, 4, 5} – будет равна пяти случаям из шести общих, то есть дробь 5/6! А если мы сложим вместе 1/6 и 5/6, то получим единицу! Единица – это значит всегда. То есть «при броске кубика у нас всегда или выпадает шестёрка, или выпадает любое другое число от одного до пяти» – математически будет записано так:

1/6 + 5/6 = 1

Теперь вернёмся к первой игре нашего дорогого друга де Мере: он подбрасывает четыре кости и проигрывает, если шестёрка не выпадает ни разу. «Не выпадает шестёрка» – это дробь 5/6, а поскольку мы бросаем не один кубик, а четыре, тогда эту дробь нужно умножить саму на себя четыре раза: 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6

Если вероятность выиграть и проиграть одинаковая, тогда она очевидно будет точно посредине между нулём и единицей – то есть 1/2, половинка! Значит, нам нужно наше число (пять шестых, умноженное четыре раза само на себя, то есть пять шестых в четвёртой степени) сравнить с половинкой! Если число будет больше, тогда правила игры «против игрока»: чем больше играет, тем больше проигрывает. Если число будет меньше, тогда правила «за игрока»: чем больше играет, тем больше выигрывает.

Компьютеров и микрокалькуляторов в далёком XVII веке ещё не было. Так что Паскалю пришлось сесть за стол и подсчитать всё на листочке. Результат его несказанно обрадовал:

– Пять шестых в четвёртой степени – это примерно 0,482. А половинка – это 0,5! 0,5 больше, чем 0,482! Значит, и вправду правила первой игры были «выгодные», де Мере чаще выигрывал, чем проигрывал! Осталось точно так же разобрать правила второй игры – и если вероятность проигрыша будет больше, чем 0,5, тогда я открыл тот самый математический закон, которому подчиняются случайности!

Правила второй игры оказались более твёрдым орешком. Нам нужно из 24 бросков хотя бы один раз выбросить две шестёрки... Вероятность выпадания одной шестёрки – это 1/6. Тогда вероятность выпадания сразу двух шестёрок – это одна шестая, умноженная на одну шестую, одна шестая в квадрате:

1/6 × 1/6 = 1/36

Тогда вероятность «две шестёрки не выпали» будет равна единице минус наше число:

1 – 1/36 = 35/36

По правилам де Мере мы бросаем кубики двадцать четыре раза. А это значит, что для определения вероятности проигрыша мы число 35/36 должны умножить само на себя двадцать четыре раза, то есть возвести в двадцать четвёртую степень:

35/36 × 35/36 × 35/36 × … × 35/36 = ?

На этот раз Паскалю считать пришлось действительно очень долго. Но такова уж была жизнь математиков в те далёкие времена. Наконец, Паскаль закончил расчёты и рассмеялся: (35/36)24 = 0,5086

Число 0,5086 больше, чем число 0,5 («половинка»), а значит, по правилам второй игры проигрыш будет встречаться чаще, чем выигрыш! И вторые правила, придуманные де Мере, действительно играют «против игрока»! Паскаль был в восхищении – «его величество Случай», шанс, совершенно, казалось бы, непредсказуемый, вдруг начинает подчиняться строгим математическим законам! Это было нечто чудесное, потрясающее!

Паскаль начал писать книгу, которую так и назвал – «Математика случая». К сожалению, он эту книгу так и не завершил – но, тем не менее, результаты Паскаля стали той основой, на которой выросла современная теория вероятностей – та самая «математика случая». Эта отрасль математики давным-давно переросла детские задачки об игре в кости – она повсеместно используется и в математической физике, и в физике газов, и в атомной физике, и в термодинамике, и в вычислительной математике, и в теории погрешностей, и в статистике, и в механике, и в информатике, и в экономике, и так далее, и так далее. Сказать по правде, практически невозможно указать в современной науке область, где в том или ином виде не используются мощные вычислительные механизмы теории вероятностей.

А что же азартные игры, с которых всё начиналось? А вот насчёт азартных игр теория вероятностей ни капельки не сомневается в одном: никогда и ни при каких обстоятельствах нельзя придумать «секретную формулу», которая позволяет гарантированно выиграть в азартную игру. Ни в какую. Ни в «орла и решку», ни в рулетку, ни в «однорукого бандита», ни в тотализатор на скачках или футболе, ни даже в торговлю на «Форексе». И если кто-то вдруг начинает рассказывать про то, что «а вот я изобрёл способ...» или «а вот я придумал схему...» – вежливо улыбнитесь и идите дальше по своим делам.

Забавно? Теория вероятностей возникла благодаря азартным играм – но она же их и «убила», доказав их ненаучность. Азартные игры – это просто безграничная жадность, помноженная на глупость и наивную веру в «везение». Вспомните ещё раз, до чего страсть к азартным играм довела благородного Атоса! «По теории вероятности ждите крупной неприятности...»

Это была статья из журнала «Лучик». Приобрести его можно на Wildberries и в «Озоне», оформить подписку – на сайте Почты России (с 10 по 17 ноября будет скидочная неделя). Скачать БЕСПЛАТНО номера за 22-24 годы можно по ссылке: https://lychik-school.ru/view

Но знаете ли вы, сколько в арифметике загадочных и совершенно необъяснимых вещей?

Для начала возьмём так называемую «задачу Эйлера», она же «задача о тридцати шести офицерах», которую, согласно легенде, предложила знаменитому математику Леонарду Эйлеру императрица Екатерина Великая.

Чтобы не утомлять вас старинными воинскими званиями, переведём её на простой современный школьный язык.

Итак, пусть у нас есть 36 ребят, поровну учеников первого, второго, третьего, четвёртого, пятого и шестого класса. (По шесть человек получается, верно?) Все они посещают разные кружки и секции. Пускай шестеро из них (кто из какого класса – мы не знаем!) занимаются музыкой, шестеро – танцами, шестеро – рисованием, шестеро – футболом, шестеро – плаванием и шестеро – компьютерами.

Итак, задача: нужно расставить наших ребят в квадрат шесть на шесть так, чтобы в любом ряду – как по горизонтали, так и по вертикали! – были представлены, не повторяясь, ученики всех классов (один первоклассник, один второклассник и так далее до шестиклассника) и всех увлечений (то есть один музыкант, один танцор, один художник, один футболист, один пловец и один юный программист).

Ещё раз подчёркиваем: повторы комбинаций недопустимы, то есть у нас не может быть, скажем двух первоклассников-музыкантов или второклассников-художников.

Попробуйте придумать такую расстановку.

Однако скажем сразу: академик Эйлер бился с этой задачей несколько месяцев – но так и не смог отыскать её решения! Расставить детей в указанном порядке не получится, хоть ты лопни.

Может, эта задача вообще не решается? Вовсе нет. Если мы возьмём эту же задачу для 16 детей (то есть с первого класса по четвёртый, и чтобы увлечений было всего четыре, «от музыканта до футболиста»), то она решается очень просто:

Академик Эйлер сумел решить эту задачу и для 25 ребят (с первого по пятый класс и от музыканта до пловца). В дальнейшем этой задачей занимались тысячи (!) математиков, и в 1959 году было доказано, что эта задача решается для любых квадратных чисел с корнем больше трёх. Любых, кроме тридцати шести!

Как такое может быть? Наша интуиция, наш здравый смысл подсказывает – если задача решается в случае 3 х 3, 4 х 4, 5 х 5, 10 х 10, да хоть 22 х 22 – то она ну просто всенепременно должна решаться для всех чисел n x n! Но нет – для квадрата «шесть на шесть» задача Эйлера неразрешима... Впрочем, как и для квадрата «два на два» (попробуйте сами).

Что же особенного в числах 2 и 6? Почему именно 2 и 6? Почему эта задача не решается именно для этих двух чисел и никаких других? А никто не знает...

А вот другая удивительная задача, сформулированная в 1949 году индийским математиком Даттарая Капрекаром.

Возьмите любое четырёхзначное число, в котором не все цифры одинаковые. То есть 1111, 2222 или 9999 – нельзя. А любые другие – можно. Пусть у нас будет число 2023. Теперь внимание! Переставим цифры этого числа так, чтобы получить самое меньшее возможное число. Нетрудно догадаться, что это будет число 0223, так? А теперь переставим цифры так, чтобы получить самое большое число. Понятно, что это будет 3220, ага? Вычтем меньшее число из большего:

1) 3220 – 0223 = 2997

Сделаем с числом 2997, которое у нас получилось, то же самое: переставим цифры, найдём наименьшее возможное число (2799) и наибольшее (9972). Снова вычтем:

2) 9972 – 2799 = 7173

Продолжаем, повторяем всё то же самое:

3) 7731 – 1377 = 6354

4) 6543 – 3456 = 3087

5) 8730 – 0378 = 8352

6) 8532 – 2358 = 6174

А дальше (глубоко выдохнули) начинается то самое, удивительное!

7) 7641 – 1467 = 6174

8) 7641 – 1467 = 6174...

Всё, наши расчёты навсегда бесконечно «зациклились» на одном-единственном числе 6174!

Можно подумать, что это просто совпадение, случай. Однако нет, не случай. Возьмите совершенно любое четырёхзначное число с не повторяющимися цифрами – хоть 1234, хоть 9876, проделайте те же самые действия – и в итоге всё равно получите всё то же самое «упрямое» число 6174, как говорят математики – «неподвижную точку преобразования».

И снова, как с задачей Эйлера, вопрос: почему?! Как?! Почему все четырёхзначные числа в преобразовании Капрекара «сходятся» к числу 6174? Что в нём такого особенного?

Кстати, можете проверить сами: все трёхзначные числа с неповторяющимися цифрами точно также «сходятся», «сбегаются» к волшебному числу 495. А вот с двухзначными или пятизначными числами у вас этот фокус, как ни бейтесь, не получится. В этом случае «неподвижной точки преобразования» нет!

Дальнейшие проверки на компьютере показали, что для шестизначных чисел таких вот «точек Капрекара» существует две: это числа 549945 и 631764 (если вы узник замка Иф, возьмите карандаш и проверьте сами). А для семизначных чисел «точек Капрекара», «волшебных чисел Капрекара» снова не существует...

Ну как, вы всё ещё считаете, что в математике нет ничего загадочного, да?

P.S. Кстати, задача Эйлера для числа 36 имеет решение с точки зрения квантовой механики – если ученики или их свойства будут находиться в «суперпозиции», то есть, например, если кто-то из учеников окажется одновременно учащимся и первого, и второго класса. Но такое возможно только в микромире, а в макромире нет! А ведь ученики, классы, кружки – это явления макромира, правда?

Отзывы о журнале «Лучик» можно почитать здесь.

Нет-нет, не такая. Мирная проблема. Вы-то уже достигли пятого уровня, а у друзей персонажи только первого уровня, слабенькие! Как им вас догнать, чтобы играть втроём?

Вы, конечно, можете удалить своего старого игрового персонажа, и начать игру заново. Или можете перестать играть и подождать, пока друзья доберутся до вашего уровня. Всё верно. Но... ску-у-учно! Однако есть и третий вариант – математический.

(В конце концов, любая компьютерная игра – это чистая математика. И если хотите научиться создавать видеоигры сами, то советуем с математикой подружиться заранее.)

Итак, чтобы перейти на следующий уровень, игроку в игре нужно набирать очки, то есть опыт, на тайном (непонятном родителям) игровом языке – «экспу». Скажем, за выполнение задания игрок получает сто очков опыта. А для прохода на второй уровень нужно набрать тысячу очков. На третий уровень – ещё тысячу, и так далее.

Такой рост уровня игрока в математике называется «линейным». Простая система, удобная и понятная – но! С ней товарища не догонишь, хоть ты тресни!

А теперь представим себе такой режим прохождения игры: для получения второго уровня игроку нужно набрать тысячу очков. А вот для получения второго – уже две тысячи! Для третьего – четыре тысячи. Для четвёртого – восемь и так далее.

Значит, чтобы перейти с пятого уровня на шестой, вам нужно набрать тридцать две тысячи очков. А друзьям, чтобы «докачаться» с первого уровня до пятого, понадобится 1+2+4+8+16 = тридцать одна тысяча очков! И они очень даже быстро (буквально за день) вас догонят, и дальше вы будете играть вместе на одном уровне!

Такой рост уровня игрока в математике называется (нетрудно догадаться) «нелинейным». Или – «логарифмическим».

Школьная линейка с её сантиметрами и миллиметрами – это линейная шкала:

1 сантиметр – 10 миллиметров. 2 сантиметра – 20 миллиметров. 3 сантиметра – 30 миллиметров. И так далее. А теперь представьте себе, что у нас вот какая причудливая шкала:

1 сантиметр – 20 миллиметров, 2 сантиметра – 40 миллиметров, 3 сантиметра – 80!.. Вот это и будет шкала «нелинейная», «логарифмическая».

Вы не представляете, насколько в науке и технике распространены такие вот «нелинейные линейки».

• Скажем, «шкала Рихтера», по которой измеряют силу землетрясений – логарифмическая.

• Шкала громкости звука в децибелах – логарифмическая.

• Яркость звёзд в астрономии – тоже.

• Время выдержки в фотоаппарате – тоже! И так далее, и так далее!

Название «логарифмическая» происходит от слова «логарифм». А что это за зверь? Сейчас расскажем!

Составим таблицу с двумя рядами чисел. В верхней строчке – просто числа от нуля до девяти. А вот во второй – числа «хитрые».

Что же в них хитрого? А то, что мы можем умножать их, не умножая !

Скажем, сколько будет восемь умножить на тридцать два, сможете быстро посчитать в уме? А теперь смотрите: в нашей таблице число 8 во второй строке стоит под цифрой 3 в первой строке, а число 32 во второй строке – под цифрой 5 в первой строке, так? Сложим 3 и 5 – сколько получается? Восемь! А теперь – какое число в нашей таблице во второй строке стоит под цифрой 8 в первой строке? Число 256! Всё, вот вам и ответ!

Может, это случайное совпадение? Нет, не совпадение. Повторим опыт – умножим по нашей таблице 16 на 64.

Число 16 – под цифрой 4, число 64 – под цифрой 6. Складываем 4+6, получаем 10. А какое число у нас во второй строке под цифрой 10? Число 1024. Проверяем на калькуляторе – и правда 1024!

Так что это совсем не совпадение, а наоборот – самый настоящий математический закон. Открыли его, кстати, давным давно. И догадались, что с помощью такой вот таблицы (только более подробной, конечно) можно вместо умножения чисел использовать сложение.

«А можно вместо деления по такой волшебной таблице использовать вычитание?» – спросят самые догадливые.

А вы попробуйте. Скажем, разделить 2048 на 128 – сколько будет? 2048 стоит под цифрой 11, а 128 – под цифрой 7.

Сколько будет из одиннадцати вычесть семь? Четыре. Находим число 4 в первой строке, а под ним видим число 16. И это на самом деле правильный ответ!

Понятно, что складывать и вычитать намного проще, чем умножать и делить. Особенно если числа большие и длинные! Причём не только людям – но и компьютерам! (Да-да, бывают такие задачи в математике, физике, технике и вообще в науке, которые даже для решения на самом супербыстром компьютере желательно «упрощать».) А уж как страдали учёные в те времена, когда вообще никаких компьютеров не было! Некоторые вычисления приходилось делать недели и месяцы! Горы исписанной бумаги, вёдра чернил!

Так что же такое «логарифм»? А это как раз число из первой строчки нашей чудо-таблицы!

Мы с вами как говорили? «Число 128 в таблице стоит под номером 7». А математик скажет так: «Число 7 – это логарифм числа 128 по основанию 2».

Английский математик Джон Непер первым в мире составил такие «волшебные таблицы» в 1614 году, в книге, которая так и называлась: «Описание удивительной таблицы логарифмов», по-латыни «Мирифици логаритморум канонис дескрипцио».

В тогдашнем научном мире эта книга произвела настоящий фурор, стала бестселлером! С её помощью считали мореплаватели и строители, военные и купцы, финансисты и инженеры. Вот как об изобретении логарифмов писал знаменитый французский астроном Пьер-Симон Лаплас:

«...это удивительное искусство, которое, позволяя за несколько дней сделать работу нескольких месяцев, вдвое продлевает жизнь астроному, избавляя его от ошибок, неизбежных при долгих вычислениях...»

Само название «логарифм» происходит от греческих слов «λόγος» (логос, «разум») и «ἀριθμός» (арифмос, «число») – то есть, в переводе с греческого, «логарифмы» – это «умные числа». А ведь и правда неглупые, а?

Кстати, именно на логарифмах основана работа «деревянного калькулятора», дедушкиной (и прадедушкиной) логарифмической линейки.

Никакого экрана, никакой клавиатуры, никаких кнопок, никаких программ и даже никакого электричества – просто две линейки, подвижная и неподвижная. И прозрачный «бегунок». А считать на такой линейке, между прочим, можно не хуже, чем на калькуляторе! Если хотите познакомиться с этим старинным (и незаслуженно забытым) искусством – напишите нам!

• Полистать журнал "Лучик" можно здесь

• Подписаться с доставкой в почтовый ящик – на сайте Почты России

• Купить – на Wldberries

• Скачать несколько номеров бесплатно – здесь

• Наш Телеграм-канал: https://t.me/luchik_magazine

Ну, во-первых, в книжках по школьной математике синус обычно вводится через систему координат – а это одно из самых сложных определений синуса. Даже взрослые сбиваются на неуклюжих «прилежащих» и «противолежащих» катетах, что уж говорить о бедных школьниках!

Во-вторых, само название «синус» совершенно бессмысленное, не несущее никакой понятной информации. Если перевести это слово с латинского языка, получится «залив». На Луне, например, есть Залив Радуги (это где наш Луноход ездил), по-латыни Sinus Iridium. Но при чём тут математика?!

Не при чём. Бедняга синус стал жертвой грубой ошибки средневекового переводчика. А на самом деле в нём нет ничего загадочного и непонятного. Это очень простая вещь!

Пойдём в магазин игрушек и купим там обыкновенный детский лук. Посмотрите на него сбоку: лук устроен очень просто – он состоит из изогнутой «дуги» (древка) и прямой тетивы.

Так вот, грубо говоря, дуга – это и есть тот самый угол. А тетива – тот самый синус! Индийские математики, первооткрыватели синуса, так и называли эту функцию: «джива», то есть «тетива лука»!

Иногда более точно – «арха-джива», то есть «половина тетивы». Посмотрите на рисунок – что тут непонятного? Два конца дуги (лук) соединяем прямой линией – это и будет тетива лука, то есть удвоенный синус угла.

От индийских математиков слово «джива» перешло к арабам, которые стали произносить его как «джиба», а записывали тремя буквами: «дж», «й» и «б». Однако в арабском языке есть слово «джиб», которое пишется в точности так же и буквально означает «карман».

А средневековые европейские переводчики, переводя математические труды арабов на латинский язык, превратили арабский «карман» уже в никому совсем не понятный «залив» неизвестно какого моря-океана...

• Полистать журнал "Лучик" можно здесь

• Подписаться с доставкой в почтовый ящик – на сайте Почты России

• Купить – на Wldberries

• Скачать несколько номеров бесплатно – здесь

• Наш Телеграм-канал: https://t.me/luchik_magazine