Серия «Математика»

Прогресс в понимании какой-либо темы можно улучшить не только решая задачи, но и создавая новые. Здесь создаем задачу, похожую на уже решенную недавно. В ходе разбора задач они отчасти теряют свою ценность для тех, кто понял из разбора как решается, но не прошел этот путь сам, не нашел решение, а просто увидел его и понял. Понять - это только часть-дела, а найти решение самому намного сложнее и при этом гораздо больше опыта можно извлечь из задачи. Создание новой задачи может отчасти помочь скомпенсировать это упущение потому что позволяет посмотреть на задачи с более глубокой точки зрения.

Можно пойти дальше - создать целое семейство похожих задач и разобраться как будет отличаться их сложность и возможно ли их генерировать алгоритмически или с помощью нейросетей? - Этот вопрос оставим на другой раз, а здесь только разберем пример составления новой задачи по данной решённой.

Создание своей задачи - хорошая самопроверка понимания изучаемой темы.

Еще одна задача из задачника Сканави на разборе.

Интересно становится, когда задаешься вопросами что за выражения в числителе/знаменателе и как узнать их корни? В общем случае для этого надо строить график функции и смотреть, при каких x она пересекается с осью X, но в случае данной задачи достаточно даже в уме попробовать подставить в x первые значения, которые придумываются.

Эта задача может быть для кого-то хорошая головоломка на способ рассматривания выражения и медитации над вопросом "Что это вообще такое я вижу?". Даже если при этом не знаешь почти ничего, то после достаточного времени в раздумьях над этим вопросом и всеми черточками и знаками можно прийти к интересным выводам. Чему как-раз и учит эта задача. Мы испортили ее суть разбором, но в задачнике рядом с ней (2.168) еще много похожих и для прохождения пути самостоятельно можно попытать счастья в соседних. Здесь можно скачать задачник.

Код анимации и спека здесь: https://gitverse.ru/Nikas/NeuralNet.2025/content/master/mani...

В видео разбираем классическую ловушку, которая заставляет терять половину правильных решений в задачах с модулем.

Мы берем громоздкое выражение с корнями четвертой степени и пошагово его упрощаем, фокусируясь на критическом моменте:

1. Раскрытие скобок: Учимся быстро сворачивать квадраты и раскладывать разности, чтобы увидеть, что скрывается под корнем.

2. Узнаём как модуль гарантирует неотрицательный результат.

3. Ветвление решения: Разбираем, как именно появление модуля заставляет задачу разделиться на два разных ответа в зависимости от знака подкоренного выражения.

4. Финальная сборка: Собираем все части воедино, сокращаем дроби и получаем два корректных ответа, один из которых легко пропустить, если не учесть модуль.

Мы думали, что победили коварный модуль в прошлой задаче (https://rutube.ru/video/6d0a47b7f8d590666cd146fba0f17c00/), но оказалось, что за его спиной прятался еще более хитрый противник — Область Допустимых Значений (ОДЗ). Если вы хоть раз получали неверный ответ, потому что забыли проверить, что находится под корнем четной степени или в знаменателе, это видео для вас!

В этом выпуске мы возвращаемся к сложной задаче с корнями четвертой степени и детально разбираем, как ОДЗ не просто «дополняет» решение, а полностью перекраивает рабочие интервалы. Узнайте, как правильно выставлять «красные флажки» на числовой прямой, чтобы избежать корней из отрицательных чисел и деления на ноль (даже скрытого!).

Что вы узнаете из этого видео:

• Почему $\sqrt[4]{x^4} = |x|$, и как модуль влияет на ветвление ответа.
  

• Три критические точки, где скрывается ОДЗ: корни четной степени, явное деление на ноль и скрытое деление на ноль.
  

• Как правильно объединить ограничения от Модуля и ОДЗ, чтобы получить финальный, корректный ответ для каждого интервала.
  
  Код анимации (если кому интересно) смотрите здесь - https://gitverse.ru/Nikas/NeuralNet.2025/content/master/mani...
  
  Прошлый разбор этой задачи:

Утоп в собственных мыслях и не добрался до решения.

Пока смотрел дробь с корнями в корнях — то запустил режим «калейдоскопа вариантов поиска решений»:
— Может, замена? А какая?
— Или возвести в квадрат?
— А вдруг разность кубов?
— А если домножить на сопряжённое?

За пять минут у меня было семь стратегий, ни одна из которых не была доведена до конца. Прыгал с одной на другую, как белка в колесе, убеждая себя, что ищу «элегантное решение», а на деле просто боялся ошибиться.

В какой-то момент я сделал то, что должен был сделать с самого начала:

Взял и возвёл в квадрат.

И всё начало складываться — чётко, логично, красиво.
Но… я тут же испугался, что «слишком просто», и снова ушёл в дебри замен: ввёл x = √3, получил два выражения, которые выглядели по-разному — и решил, что сломал всё.

На самом деле они были одинаковыми. Просто я не заметил, что при x = √3 обе функции совпадают.
Но вместо того чтобы подставить число и проверить — я начал сомневаться в реальности, в задаче, в себе.

В итоге устал и спросил у нейросети:

«Эй, что я тут наворотил, почему не сходится?»

Она ответила:

«Да эти значения же равны. Ты просто не подставил.»

И всё встало на места.

Вывод?
Хаос в голове — не всегда от глупости. Он от лишней тревожности… и страха выбрать не ту дорогу.
Иногда достаточно остановиться, сделать один простой шаг — и довериться ему, даже если он кажется «тупым».

А у вас бывало, что вы сами себе мешали решить простую задачу и как это преодолевали?

Песня по мотивам разбора задачи

Записал видеоурок по одной коварной задаче — рациональному уравнению, где в числителе зверствует выражение четвёртой степени, а в знаменателе корень, который непонятно было как сократить. Сделал по разбору этой задачи анимацию.

Но для лучшего запоминания и восприятия не хватает лирики. Поэтому написал об этом песню. (спасибо Gemini и Suno)

Это история про момент, когда решение уже почти найдено — но хаотичный ум заставляет пойти другим путем и там упирается в ошибку.

Вот стихи:

[Куплет 1]
Томим душевной жаждой знаний,
Я грыз гранит больших задач.
Среди корней и начертаний
Я слышал свой беззвучный плач.
Взгляни: в числителе — химера!
Четвертой степени оскал,
Там минус, плюс… пропала вера,
И дрогнул мой потенциал.
Я мыслил: «Как же снять оковы?
Как этот ужас упростить?»
И глас раздался: «Будь суровым!
В квадрат всё надобно - возвысь!»

[Припев]
О, мой Квадрат! Спаситель верный!
Срывай же панцирь с этих чисел!
Пусть дрогнет радикал скверный,
В нем скрыт великий, тайный смысл.
Дели числитель — он удвоен!
На знаменатель — он один!
В итоге дроби — корень двое,
И ты над ними властелин!

[Куплет 2]
Но бес сомнения лукавый
Мне шепот в ухо запустил.
Я, жаждая минутной славы,
Переменил, что было сил.
Взял Икс как корень,
И записал в тетрадь свою:
«Тут куб и икс, и плюс, и вечно
Я эту функцию пою…»
Гляжу: вот кубик, вот прямая,
Меж ними пропасть, бездна, тьма!
«Они не ровня!» — восклицая,
Я чуть не выжил из ума.

[Припев]
О, мой Квадрат! Спаситель верный!
Срывай же панцирь с этих чисел!
Пусть дрогнет радикал скверный,
В нем скрыт великий, тайный смысл.
Дели числитель — он удвоен!
На знаменатель — он один!
В итоге дроби — корень двое,
И ты над ними властелин!

[Бридж]
Но слушай правду, друг упрямый,
О том, как графики сошлись.
В той точке, узкой или тесной,
Они в объятиях сплелись.
Ведь корень с тройки, возведенный
В могучий и священный куб,
Стал утроением! Смиренный,
Он стал линейным, душегуб!

[Финал]
Итак, запомни сей урок:
Не верь глазам — верь вычисленью.
В той точке рок нажал курок,
Предав кубичность искупленью.
Ты был лишь в шаге, очень близко!
Но страх тебя остановил.
Теперь же кланяюсь я низко —
Ты корень двойки победил!

Gemini / 01.12.2025

Признайтесь честно: сколько раз вы ловили себя на том, что решаете задачу, как заевшая пластинка? Вам дали инструкцию — вы её выполнили. Вам дали формулу — вы её подставили. Это режим калькулятора, и он не всегда хорош.

Сегодня мы поговорим об Инициативном Подходе. Это когда ты смотришь на задачу и говоришь:

«Подождите-ка, а можно я не буду делать это так, как все?»

Вы отказываетесь быть тупым исполнителем.

Вместо того, чтобы слепо следовать алгоритму (который, скорее всего, придумал кто-то, кто тоже не хотел напрягаться), вы начинаете задавать вопросы:

1. «А можно ли это сделать иначе?»

2. «Где тут симметрия, которую я могу использовать?» (Привет, любители геометрии!)

3. «Могу ли я обобщить это частное решение?» (Переход от «посчитать 1000» к «найти формулу»)

4. Это не про лень. Это про экономию когнитивных ресурсов. Зачем тратить энергию на то, что можно автоматизировать мыслью?

Зачем нам это — кроме как для победы в олимпиадах?

Потому что инициативный подход — это мышление, а не рефлекс.

• Снижение нагрузки: вы не запоминаете миллион частных случаев, а ищете общее правило.

• Устойчивость: при встрече с новой, незнакомой задачей вы не паникуете, а начинаете искать структуру — потому что уже натренированы это делать.

• Критическое мышление: вы начинаете сомневаться в «очевидном» решении. А это основа любого прогресса.

Как прокачать этот навык?

Начните задавать вопросы. После того как вы решили задачу, потратьте 5 минут и спросите себя:

«А как бы это решил Эйнштейн? Или как бы это решил программист, которому лень?»

• Ищите симметрию.

• Ищите крайние случаи (что будет, если `n = 1` или `n = 0`?).

• Сравнивайте свои решения с чужими.

• Инициативный подход — это не врождённый талант. Это привычка, которую нужно нарабатывать. Каждая задача, которую вы решаете, — это шанс не просто получить ответ, а переосмыслить сам процесс.

Хватит быть роботом, который ждёт команды. Станьте тем, кто придумывает команду!

Источником информации об этой теме явилась книга (предисловие) Туманов С.И. Элементарная алгебра https://vk.com/wall-94378522_41571