Дифференцировать и обезьяну можно научить, а вот интегрирование — это искусство!(народная мудрость)

В этой книге было также написано, как дифференцировать параметры под знаком интеграла — это определенная операция. Оказалось, что ей не особо учат в университетах; там ей не уделяют должного внимания. Но я научился использовать этот метод и снова и снова применял этот чертов инструмент. Так что, будучи самоучкой и учившись по этой книге, я знал особые методы интегрирования.
В результате, когда ребята в МТИ или в Принстоне мучались с каким-нибудь интегралом, это происходило потому, что они не могли взять его с помощью стандартных методов, которые узнали в школе. ( . . . )  Потом приходил я и пытался продифференцировать это выражение под знаком интеграла; часто мне это удавалось. Вот так я завоевал репутацию человека, умеющего брать сложные интегралы, только потому, что мой набор инструментов отличался от всех других, а все другие приглашали меня, только перепробовав все свои инструменты.  («Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!» Фейнман Ричард Филлипс)

Введение
Сегодня я хочу рассказать об одной очень красивой формуле, связывающей дзета-функцию Римана и Гамма-функцию(не пугайтесь я все объясню). Формула выглядит вот так:

Также в процессе своего рассказа я хочу осветить такую тему, как специальные функции и рассказать для чего они нужны.

Специальные функции

1. Мотивация

Часто в задачах математики, физики и других естественных науках нам приходится иметь дело с интегралами, которые не приводятся к стандартным (таким как косинус, экспонента и т.д.). В этом случае весьма полезно знать некоторые "трюки", позволяющие преодолевать такого рода трудности. Одним из таких "трюков" является использование специальных функций.

Первое моё знакомство со специальными функциями произошло во время чтения первого тома Теоретической физики Ландау и Лифшица (Ландау Л., Лифшиц Е. Теоретическая физика. Т. I. Механика. М.: Физмат-лит, 2021 с. 41):

Как видно последняя подинтегральная функция имеет довольно простой вид, однако, так как этот интеграл не выражается через стандартные, приходится идти на различные ухищрения при его вычислении (я не буду приводить здесь вычисления, кроме объявленного интеграла, однако их можно проделать в качестве упражнения с указаниями в учебнике В. А. Зорича "Математический анализ Часть II" или в Демидовиче, к которому есть китайский решебник).

Также гамма-функция значительно упрощает вычисление таких классических интегралов, как интеграл-Дирихле и интеграл Пуассона:

Последний имеет важное значение в теории вероятностей.

Гамма-функция помогает при взятии многих других естественных интегралов:

1) Обобщение интеграла Дирихле

2) Похожие на тот, что был у Ландау

*Где В -- бета-функция Эйлера, которую можно определить равенством:

3) Интегралы Френеля:

2. Забавные свойства гамма-функции

1) Формула понижения

Доказательство проводится интегрированием по частям.

2) Г(1) =Г(2)= 1

Для доказательства Г(1)=1 продифференцируйте exp(-x), а потом проинтегрируйте справа и слева.

Для доказательства Г(2)=Г(1) проинтегрируйте Г(2) по частям.

3) Связь с факториалами

Сразу следует из (1) и (2).

4) Формула Эйлера-Гаусса

Доказательство этого и следующих фактов есть к книге Зорича, ссылка на которую есть выше.

5) Формула дополнения

Из этой формулы следует очень красивое разложение синуса, как произведения:

Обещанный интеграл

Рассмотрим интегралы вида:

Сделаем замену:

Получаем:

Заметим, что мы уже знаем чему равен этот интеграл. Это Г(s)! Значит:

Остается просто просуммировать по n и мы получим что что надо(формально говоря мы должны рассмотреть предел частичных сумм, а потом занести предел под знак интеграла, предварительно проверив, что функция под знаком интеграла--непрерывная).

Просуммируем убывающую геометрическую прогрессию под интегралом и получим нужное равенство.

Интересный факт

При s=2 получаем интересное равенство:

Однако, чтобы посчитать этот интеграл гамма-функции недостаточно и требуется более серьезная техника (в частности можно свести этот интеграл к другой специальной функции).