Давайте посмотрим, где могла оказаться первая точка и как выглядит множество возможных положений второй, третей и т.д. точек

По условию первую точку мы выбираем где-то в треугольнике, т.е. множество всех возможных ее положений – весь треугольник:

Если мы в качестве вершины, к которой "притягиваем" точку, выберем верхнюю вершину, то точка может переместиться только в эту область:

Если выберем левую-нижнюю, то сюда:

А если правую-нижнюю, то сюда:

Так как можно выбрать любую из вершин, точка может переместиться в любую из областей, т.е. после одного "перемещения" точка может оказаться только в одной из красных областей:

Где она может оказаться после второго "перемещения"? Нужно "стянуть" красную область к каждой из вершин и объединить полученные области:

Начинаете что-то замечать?) Продолжая такие манипуляции, можно получить множество точек, где точка может оказаться после трех перемещений:

После 7 перемещений точка может оказаться только тут:

То есть у всех белых областей нет другого варианта, кроме как оставаться белыми!

Из этих же соображений следуют и ответы на вопросы вида "что если взять начальную точку где-то в большом белом треугольнике"? Ну, сначала точка будет в нем, но после первого перемещения ее там не будет, после второго перемещения ее точно не будет в белых треугольниках поменьше и так далее. То есть после каждого перемещения точке "запрещается" быть во все более и более маленьких белых треугольниках. Конечно, выбор неудачной начальной точки может подпортить красивую картинку, но в не очень большом количестве заметных для человеческого глаза мест.

Из подобных соображений можно понять, почему для квадрата, вместо красивой картинки, получается шум. После одного перемещения точка может оказаться в одной из этих областей:

Их объединение дает изначальный квадрат, то есть белых областей не появляется и точка по-прежнему может находиться в любой точке квадрата. Но если "притягивать" точку сильнее, чем на половину длины, белые области начнут появляться и картинка станет фрактальной:

Из-за сжатия может показаться, что это не фрактал, но это фрактал, поверьте мне)

На этом все, спасибо, за уделенное время, надеюсь, что мне удалось немного развеять непонимание вокруг этого феномена

P.S. На самом деле, мы показали лишь то, что белые области в треугольнике Серпинского будут белыми и на нашей картинке, но не показали, что каждая точка в треугольнике Серпинского будет закрашена (т.е. то, что получиться именно треугольник Серпинского, а не его подмножество). Объяснения этого факта, в лучших традициях, остается любопытному читателю в качестве упражнения