Лига Оригами

Доброго дня, пикабушники и, в частности, участники Лиги Оригами. Сегодня хотелось бы приоткрыть вам дверь в такую область, как использование Оригами в научных целях, ведь Оригами из довольно узкоспециализированного искусства влилось во многие сферы науки и жизни, которые вы, порой, не замечаете и даже не догадываетесь об этом.

Искусство складывания из бумаги, или оригами, насчитывает уже несколько сотен лет. В последние десятилетия в данном виде искусства стали использоваться достижения математики. Подобные исследования занимаются вопросами различных геометрических построений и во многом похожи на соответствующий раздел математики — построения с помощью циркуля и линейки. Помимо этого, математика оригами решает вопрос о возможности плоского складывания, а также вопрос о возможности твердого складывания какой-либо модели. Данные работы, кроме чисто академического интереса для математиков имеют и практическую ценность как для оригамистов, так и для инженеров.

Геометрические построения.

Согласно классическому оригами, объектом складывания является неразмеченный квадратный лист бумаги, без разрезов.

С точки зрения математики оригами, целью оригамиста является точное определение местоположения одной или более точек листа, задающих складки, необходимые для формирования окончательного объекта. Процесс складывания подразумевает выполнение последовательности точно определенных действий по следующим правилам:

-Линия определяется либо краем листа, либо линией сгиба бумаги.

-Точки определяются пересечениями линий.

-Все складки определяются единственным образом путём совмещения различных элементов листа — линий или точек.

-Сгиб формируется единственной складкой, причем в результате складывания фигура остается плоской.

Последний пункт сильно ограничивает возможности складывания, разрешая только одну складку за раз. На практике даже простейшие модели оригами подразумевают создание нескольких складок за одно действие.

Правила Фудзиты  — набор из семи правил, формально описывающие геометрические построения с помощью плоского оригами, подобным построениям с помощью циркуля и линейки (евклидова геометрия).

Фактически они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа — точек и линий. Под линиями подразумеваются края листа или складки бумаги, под точками — пересечения линий. Существенным моментом является то, что сгиб формируется единственной складкой, причём в результате складывания фигура остается плоской.

Часто эти правила называют «аксиомами», хотя с формальной точки зрения аксиомами они не являются. Складки в этих правилах существуют не всегда, правило утверждает только, что если такая складка есть, то её «можно» найти. Итак, сами правила:

Замечания к правилам Фудзиты.

Все складки в этом списке можно получить как результат последовательного применения правила №6. То есть для математика они ничего не добавляют, однако позволяют уменьшить количество сгибов. Система из семи правил является полной, то есть они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа. Это последнее утверждение было доказано Робертом Лэнгом - американским физиком и выдающимся оригамистом.

Возможные и невозможные построения.

Все построения являются ничем иным, как решениями какого-либо уравнения, причём коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований, возможны следующие построения:

-Построение решений линейных уравнений.

-Построение решений квадратных уравнений.

-Построение решений кубических уравнений (правило №6).

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного и кубического корней из исходных чисел (длин отрезков).

В частности, при помощи таких построений можно осуществить удвоение куба, трисекцию угла, построение правильного семиугольника. Решение задачи о квадратуре круга однако остаётся невозможным, так как "πи" — трансцендентное число.

История возникновения правил Фудзиты:

Основное правило (номер 6) было рассмотрено Маргеритой Пьяцолла Белок, ей же принадлежат первые построения трисекции угла и квадратуры круга с помощью оригами-построений. Складки Белок достаточно для того чтобы получить складки во всех остальных правилах.

Полный список правил появляется в работе Жака Жюстина, который позднее также ссылался на Питера Мессера как на соавтора. Практически одновременно правила 1—6 были сформулированы Фумиаки Фудзитой, под чьим именем они известны до сих пор. Последнее седьмое правило добавил ещё позже Косиро Хатори.

Вариации и обобщения.

Список возможных построений можно значительно расширить, если позволить создание нескольких складок за один раз. Хотя человек, решивший провести несколько складок за одно действие, на практике столкнется с трудностями физического порядка, тем не менее возможно вывести правила, аналогичные правилам Фудзита и для этого случая.

При допущении таких дополнительных правил, возможно доказать следующую теорему:

"Любое алгебраическое уравнение степени "n" может быть решено "(n-2)" одновременными складками."

Представляет интерес, возможно ли решить то же уравнение складыванием, вовлекающим меньшее количество одновременных складок. Это, несомненно, верно для n=4 и неизвестно для n=5.

Приближенные построения и решение проблем солнечных батарей.

С практической точки зрения, приближённые построения представляют ничуть не меньший интерес, чем математически строгие. В большинстве реальных приложений, ошибки в расстояниях менее 0,5 % стороны квадрата редко имеют значение. К тому же, важным критерием того или иного метода построения является его ранг — количество складок, необходимых для того, чтобы отложить заданную пропорцию. Желательно также по возможности оставить внутреннюю область квадрата не мятой, создав лишь небольшие метки по краям листа. Проблема жёсткого оригами, рассматривающее складки как петли, соединяющие две плоские, абсолютно твёрдые поверхности, подобные жестяным, чрезвычайно важна практически. Например, Миура-ори — схема жёсткого складывания, которая использовалась для развёртывания больших установок солнечных батарей на космических спутниках.

Миура-ори (ミウラ折り) — схема жёсткого складывания, которая использовалась для развёртывания больших установок солнечных батарей на космических спутниках. Она была представлена японским астрофизиком Корё Миурой в 1970 году. Сейчас также используется для складывания бумажных документов, в частности карт местности. В отличие от обычных методов складывания карт, складки миура-ори расположены не перпендикулярно, а слегка под наклоном друг к другу. В результате такую карту можно развернуть и свернуть одним движением, а отсутствие многослойных складок уменьшает нагрузку на бумагу. Это хороший пример практической важности жёсткого оригами, рассматривающего складки как петли, соединяющие две плоские, абсолютно твёрдые поверхности:

В следующем посте я расскажу вам о Роберте Лэнге - известном оригамисте, который использует в своих работах данные математические правила: http://pikabu.ru/story/istoriya_origami_robert_lyeng__teoret...

Паттерн (Crease pattern/СР/Развёртка) - один из видов диаграмм оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели. Паттерн бывает удобен для описания сложной модели, когда обычная запись бывает слишком громоздкой. Более существенно, однако, то, что паттерны стали использоваться при проектировании современных сверхсложных моделей, подняв искусство оригами до небывалых высот реализма. Пример паттерна и конечной фигурки из этого паттерна:

Идея записи схемы в виде паттерна не так уж нова. Ещё в 1960—1970-х годах многие оригамисты, такие как Нейл Элиас, часто использовали паттерны для описания своих работ. Однако настоящая популярность к ним пришла в 1990-е годы. Причин к этому было несколько. Во-первых, намного проще нарисовать один чертёж, нежели детальную пошаговую последовательность складывания. Во-вторых, многие оригамисты используют паттерн в процессе разработки схемы, так что она достаётся им задаром. И, наконец, с ростом квалификации оригамистов по всему миру, стало больше людей, умеющих читать паттерны.

Может показаться, что паттерн не так иллюстративен, как пошаговая схема складывания. На самом деле, паттерн даёт не просто информацию, как сложить модель, но и как она была придумана. При современном способе конструирования, как утверждает Роберт Лэнг, сам автор может не знать всю последовательность складывания, более того, её просто может не существовать — в некоторых моделях все складки развёртки осуществляются одновременно, без промежуточных шагов.

Следует учесть, что на паттерне могут быть нанесены не все складки, он может передавать лишь основные черты окончательной модели — окончательную форму должен придать фигурке сам складывающий.

В паттернах редко применяются стандартные обозначения складок — долиной и горой. На чертеже присутствуют сотни линий и использование штриховых и штрих-пунктирных линий делает его нечитабельным. Общепринятой системы обозначений для паттернов ещё не сложилось, однако есть несколько наиболее популярных.

Неявный паттерн: все линии обозначаются одинаково.

Явный паттерн: линии "гор" и "долин" различаются.

Метод, широко используемый в печатных изданиях с черно-белыми схемами: горы и долины обозначатся линиями разной толщины.

Ещё один метод, разработанный для печати: "горы" обозначаются сплошными линиями, "долины" — пунктирными. Таких обозначений придерживается, например, Роберт Лэнг.

Метод, применяемый при публикации в интернете (например, на фликре): "горы" и "долины" обозначаются линиями разного цвета (обычно красного и синего).

Разберем на конкретном примере.

Дана базовая форма неявного паттерна кошки (автор Roman Diaz) и ее образ (фотография):

Для складывания по неявному CP, следует придерживаться следующего плана:

1. Определить какие области на паттерне соответствуют областям на готовой модели.

2. Определить визуально по модели, есть ли симметрия.

3. Найти точку отсчета (область на схеме, в которой направление складок известно на 100%)

4. Определить по схеме, есть ли элементы в модели, где используются базовые формы.

5. Определить относительное поведение складок внутри отдельных областей.

6. Сопоставить линии областей, в которых известно поведение складок.

7. Подобрать направление сгиба остальных линий так, чтобы известные линии оставили направление своих складок без изменения.

8. Масштабно увеличить схему до нужного размера и нанести линии, в соответствии с определенным направлением складок.

9. Подобрать методику получения отдельных линий для повторного складывания модели без использования паттерна.

Следуем этому плану:

1. после краткого визуального анализа приходим к выводу:

Область 1 – голова и шея

Область 2 – грудь

Область 3 - хвост

2. Из рисунка видно, что область от хвоста до груди кошки симметрична относительно центра листа, следовательно, все линии, которые зеркальны относительно оси симметрии, имеют изгиб в одном направлении.

3. В качестве точки отсчета выберем область головы и шеи. Обратим внимание на области, выделенные на рисунке и на схеме.

Следовательно, области наружной части шеи и наружной части ушей на схеме имеют разную выпуклость, а значит про область головы и шеи нам известно следующее:

4. В модели базовых элементов нет.

5. Визуально оценив по рисунку приблизительное положение складок, можем оценить ноги и голову:

6. Сопоставим ноги и голову:

Сопоставив по рисунку синие области схемы модели, получаем следующую картину:

Остаются неисследованными только фиолетовые области.

7. Оценив фиолетовые области получаем следующее:

Теперь мы получили из неявной схемы – явную. 8 и 9 пункты в данном случае выполнять необязательно, т.к. масштабно увеличивать имеет смысл только у проблемных паттернов, а последовательность действий подбирать в случае, если имеются базовые элементы, однако пункт 4 у нас пустой.

Выполним построение:

А. перенесем линии неявной схемы на чистый лист в явном виде.

В данном случае явная схема нарисована на обороте отксереного паттерна, поэтому она является его зеркальным отражением.

Б. Сложим те линии, которые имеют одинаковое направление складок, начнем со сплошной, затем пунктирной:

В. Постепенно совмещая линии, добиваемся наибольшей деформации, не нарушая целостности уже сложенных линий:

Г. Сопоставляя образ готовой модели и результат, полученный на данный момент, доводим модель до базовой формы:

Д. После получения базовой формы остается слегка подкорректировать базу и модель готова.

Основной частью изготовления модели из неявного паттерна – это сделать из неявной формы явную.

Начинающим оригамистам следует брать неявные схемы попроще, потому что не набрав достаточно опыта при сборке простейших схем, вряд ли возможно собрать схемы, подобные дракону, паттерн которого я приложил в начале поста. К тому же, неявные схемы такого уровня поддаются лишь 1% профессиональных оригамистов самого высокого уровня.

Предлагаю задачу для самостоятельного решения паттерна:

"Лиса", автор - Хидео Коматсу (Обратите внимание на симметрию относительно главной диагонали)

Творите! Дерзайте! Публикуйте свои результаты в Лигу Оригами!

В комментариях к посту "Галстук-бабочка" http://pikabu.ru/story/moneygami_origami_iz_deneng_galstukba... пользователь @Nugair попросил(а) выложить схему складывания рубашки. Собственно говоря, для складывания новичку понадобятся знания из этого поста (условные обозначения или азбука Оригами):  http://pikabu.ru/story/azbuka_origami_i_bazovyie_formyi_dlya...

В конце поста прикреплена видео-инструкция.

Итак, начнем, потребуется любая купюра любого достоинства:

Также, оставлю ссылку на видео-инструкцию:

Сперва ознакомимся с основами основ искусства оригами, с самого начала пути будущего мастера — с азбуки условных знаков и обозначений:

После первого шага, знакомства со знаками и обозначениями в оригами, пора сделать второй, ещё немножечко приближающий нас к этому удивительному искусству. Теперь нам нужно освоить базовые схемы оригами — часто используемые несложные формы, на которых базируются настоящие вершины произведения искусства оригами. И действительно, зачем засорять каждую вторую схему, если можно изучить основные формы и дать указание «начинаем с формы «квадрат»», вместо многократного повторения схемы этого самого квадрата. Это и время сэкономит, и схему понятнее сделает:

Таким образом, в данном посте мы разобрали всё, что нужно начинающему оригамисту для складывания по схемам из книг и других источников. Творите! Дерзайте! Публикуйтесь!

Доброго дня, пикабушники! Сегодня, продолжая повествовать вам о значимых фигурах в мире Оригами, хочу рассказать про удивительного человека, Эрика Жуазеля. Мой первый пост о родоначальнике современного оригами тут: http://pikabu.ru/story/istoriya_origami_akira_yosidzava_azbu...

Итак, Эрик Жуазель - французский мастер оригами; специализировался на так называемом 'методе влажного (мокрого) складывания'; все свои изящные скульптуры Эрик создавал исключительно с помощью бумаги и воды, не прибегая ни к клею, ни к ножницам.

Родился Эрик Жуазель в местечке Энгьен-ле-Бэн, близ Парижа. В молодости он сначала изучал право, затем – переквалифицировался в скульпторы. В начале 80-х Эрик столкнулся с работами Акиры Йошизавы (Akira Yoshizawa) – и оригами навсегда покорило его сердце. Казалось бы, что сложного может быть в простом ежике? Что ж, у Эрика Жуазеля на создание первого ежа ушло 6 лет. Любой, кто видел этого ежа – сложенного из одного куска бумаги, с острыми иголками, воплощающего саму сущность 'ежистости' – ни на миг не усомнится, что ни одна секунда из этих шести лет не была потрачена зря:

При слове 'оригами' в первую очередь в голову приходят бумажные самолетики, хлипкие кораблики и сложенные из тетрадных листков в клетку стаканчики. Творения Жуазеля, однако, отличаются от вышеописанного так же сильно, как картины Рембрандта или Дали отличаются от детских рисунков в стиле 'палка-палка-огуречик'. Каждая из скульптур Эрика стоит несколько тысяч долларов; они выставлялись в лучших музеях мира – в том числе и в Лувре (Louvre) – и являются украшением целого ряда частных коллекций.

В начале своей карьеры Жуазель об оригами даже и не помышлял; он всегда мечтал стать скульптором. Искусству сложения красивых фигурок из листов бумаги Эрик обучался по большей части самостоятельно; вероятно, именно поэтому его творения не похожи на фигурки других известных коллег. Люди, животные и фантастические создания – все они напоминают не столько творения из обычной бумаги, сколько самые настоящие статуи. Из умелых рук Жуазеля выходили как небольшие, размером с ладонь фигурки, так и солидные скульптуры практически в натуральную величину:

Создание чертежа новой скульптуры могло занять у Эрика несколько лет; собственно сложение – несколько сотен часов. Для самых больших работ, естественно, требовались соответствующего размера листы бумаги – 5 на 8 метров, размер средней нью-йоркской квартиры.

Среди всех фигурок нельзя было найти двух одинаковых. Сам мастер всегда говорил, что ремесло он избрал невероятно трудное. Когда его спрашивали, сколько времени уходит на одну скульптуру, он обычно отвечал '35 лет' – именно столько времени у Жуазеля заняло постижение всех секретов оригами. Техника 'влажного складывания' предполагает, что, предварительно размягчив бумагу водой, складывающий может производить не только прямые, но изогнутые, искривленные сгибы. Изначально складывается 'база' фигурки из сухого листа:

Далее, при помощи воды и ловких рук, база превращается в изящные скульптуры, которые, кажется, вот-вот оживут и заиграют свою незамысловатую мелодию:

Начинал Эрик с, пожалуй, самой популярной темы во всем оригами – животных; кроме уже упомянутого ежа, Жуазель может похвастаться на редкость изящными черепахой, морским коньком и многими другими:

Затем мастер начал делать маски, а позднее – фигуры людей:

Одной из самых известных работ Жуазеля на 'человеческую' тематику стала группа музыкантов – небольшие, всего в фут высотой каждый, фигурки, были исполнены с филигранной четкостью. Особое очарование фигуркам придавали тщательно выписанные детали – нахмуренные брови и натруженные, изрезанные венами руки. У каждого музыканта был миниатюрный инструмент – скрипка, туба, саксофон или арфа; инструменты также были сделаны из бумаги:

Легендарный мастер скончался 10-го октября 2010-го, в Аржантее, что близ Парижа. Было ему на момент смерти 53 года.

Эрик Жуазель не сделал огромного коммерческого успеха на своем поприще, он, ради развития направления мокрого складывания в оригами, рано оставил свою работу и своё первое дело - скульптуру. Французский маэстро оставил после себя огромное наследие, подняв технику мокрого складывания до невиданных ранее высот. Оригами, из простого искусства складывания бумаги, в лице Эрика, переросло в настоящее искусство скульптуры. Бумага встала в один ряд с камнем, глиной и бронзой.