MaryRabinovich

Начнём с уточнения: комплексный бывает обед, а числа комплексные.

Я тут когда-то поставила себе на заставку высказывание одного там военрука: "В военное время синус может достигать четырёх". Этот военный синус давно не давал мне покоя. Фишка-то в том, что в ТФКП (теория функций комплексного переменного) всякая трезвая функция достигает всего. Но люди об этом чаще всего не знают. Им кажется, суть истории в том, что военрук чушь несёт. Но нет. Суть в том, что он обосновывает верный тезис абсурдным для данного тезиса аргументом.

Итак.

Что же это за числа, и как же так вышло, что вы учились, учились, а их не встретили.

Давайте вспомним началку. Вам говорили: нельзя вычитать из меньшего большее. Потом стало можно. Помните, как это вышло, что было нельзя - и вдруг можно? Давайте напомню: вам рассказали про отрицательные числа, они-то и будут в ответе в примерах а ля "3 - 5 = ?".

Как обосновывалось это "нельзя": ну как же. Мы разность определили как то число, которое, будучи сложенным с вычитаемым даст уменьшаемое. Одиннадцать минус пять - это шесть потому, что шесть плюс пять - одиннадцать: 11 - 5 = 6 потому, что 6 + 5 = 11.

Чтобы вычесть из тройки пятёрку (упростить "3 - 5") привычным способом, мы должны подобрать такое число, чтобы оно плюс пять стало бы равно трём: "что-то + 5 = 3". Давайте попробуем. Один плюс пять... гм. Уже перелёт. И далее перелёт только по нарастающей - если мы владеем пока только натуральными числами: один, два, три и так далее.

По-моему, тут продуктивнее не нельзякать с детьми, а говорить откровенно: "вы просто ещё не знаете, как записать ответы в таких примерах. Нам нужны будут новые закорючки, и новые числа. Мы ещё с ними не познакомились, но это лишь дело времени".

Дальше, когда вы в 7-8 классе грызли квадратные корни, вам говорили, что корень из отрицательных чисел извлечь нельзя. Действительно, было бы можно - были бы числа, которые бы в квадрате давали бы что-нибудь отрицательное. Но ведь тут как ни пробуй, каждый раз получается ноль или больше. Всё, что не ноль, в квадрате больше нуля. А ноль - сам себе квадрат. Ну и вопрос: где взять такое, чтобы оно в квадрате было бы ну хотя бы... ну вот хотя бы минус единицей.

Вы не поверите, но мы действуем ровно так же, как с отрицательными. Просто введём тут новую закорючку, назовём это i. "И" с точкой. Это вот - корень из -1, по определению i как числа.

Отметим i на высоте в единицу на оси y - тут вы опять не поверите, но комплексные числа изображаются уже не на прямой, а на плоскости. Эта плоскость так и называется - "комплексная плоскость". С вложенной в неё по горизонтали прямой действительных чисел.

Действительные - это которыми в школе обычно заканчивают. В общеобразовательной программе у нас натуральные (один, два, три...), потом целые (с нулём и отрицательными), потом ещё дроби обыкновенные (рациональные числа), потом ещё десятичные (действительные). И всё это на горизонтальной прямой действительных чисел, вложенной в плоскость комплексных чисел.

Ах да, зачем же нам плоскость, если пока что у нас только это i с точкой (которое, по его определению, в квадрате даёт -1) и старая наша прямая? Одна прямая и одна точка, зачем тут плоскость?

А просто надо старую единицу и это вот новое i считать базовыми единичными векторами. Старая единица - наш единичный вектор по горизонтали вправо. А i - наш единичный вектор, торчащий как 49,5 прям вверх. Помните, векторы были где-то там на геометрии. Их можно складывать между собой, вычитать, и умножать на числа (пока что просто действительные). Так мы получим всякие комбинации типа x + iy. Три с половиной да плюс пять i - отличное же число: 3,5 + 5i. Или ещё логарифм двух и i корней из восьми - это я тут уже не напишу, тут не такой вам редактор, чтобы формулы делать. Или словами отчасти: log 2 + i (корней из восьми).

То, что без i, называется... да, действительной частью. То, на что i умножается - это часть мнимая. Как то пиво с картинки.

Ну и вишня на торте - их (комбинации типа x + iy) можно перемножать.

ЗЫ ежели пост наберёт комментариев да с вопросами, я буду рада продолжить эту светлую деятельность по разъяснению всякой математической мути и анекдотов. Птушшо тут, разумеется, интересно донельзя - всякие там сообщества вроде "времени разных историй" и "мля", я там подписана, но иногда вспоминаю, что можно же что-то без ужасов и без срачей. Почему бы и нет.

Представьте себе: Олег подкидывает монетку и получает сплошные решки. Сто решек подряд.

Это ему не везёт так жёстко? Или обычное дело?

Кажется, что-то не так с Олегом. Все нормальные люди на его месте решек с орлами бы получили примерно поровну. Так нам подсказывает интуиция. Да и наука статистика подтверждает: при большом количестве испытаний решек будет где-то так половина.

Значит ли это, что получение ста решек подряд - это что-то особенное? Что собой представляет статистический факт?

Я сейчас вижу так.

Комбинаторика и теория вероятностей - это детальное, как под лупой исследование большой омеги, она же - пространство состояний системы, она же - набор всех возможных исходов эксперимента.

Ну а статистика - это искусство составления агрегатных функций, что-нибудь усредняющих, принимающих много где одинаковые значения. Вариативность реальности при этом теряется. Но на замену приходит возможность охватить всё за раз. Данных становится меньше. Нет, сильно меньше.

Скажем, комбинаторно пространство состояний эксперимента "подбрасываем монетку сто раз" - это все возможные строки из сотни букв О и Р, в любом порядке.

Для двух подбрасываний это варианты ОО (два орла подряд), ОР (орёл потом решка), РО, РР. Для трёх - ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР.

С точки зрения теории вероятностей последовательность у Олега обычная, просто какое-то слово из сотни букв. У каждого такого слова индивидуальная вероятность микроскопическая. У всех отдельных слов она одинаковая.

Со статистической же точки зрения Олег сильно отклонился от среднего: у большинства наших слов поменьше решек, орлов побольше... А ну и что?

Мне всю дорогу казалось, что я туповата про все предметы, где надо как-то встречаться с реальностью. Математику понимаю, если считать математикой алгебру с геометрией, теорию чисел, что-то такое, где объект исследования - это идеальный объект.

Ну а статистика, думала я, мне не даётся из-за того, что изучает реальность.

Так и какую реальность изучает статистика с орлами-решками? Что много больше вариантов, где решек с орлами примерно поровну?

Это липовый факт. Ну то есть факт, конечно, но он замыливает детали, как и любая статистика.

Следите за руками: Олег подбрасывает монетку сто раз и получает некую там последовательность. Когда он её же получит снова?

Да никогда примерно, какой бы она ни была. Ведь шанс получения любой заранее данной последовательности примерно ноль.

Давайте чуть по-другому записывать результат. Вместо фиксации орлов и решек будем на каждом шаге независимо что-то загадывать. Дальше поставим 1, если монетка упала так, как загадано. Или поставим 0, если упала другой стороной.

Получим последовательность из нулей с единичками.

Что бы там ни загадывал наш Олег, сумма цифр в его результате будет в районе пятидесяти.

То есть, скорее всего, где-то так в половине шагов именно так монетка и ляжет, как он загадывал. А в остальной половине ляжет не так.

Надо ли настораживаться и сторониться Олега, если он получил семьдесят пять единиц? Если он угадал семьдесят пять положений монетки из ста? Гаусс подсказывает, что тут стоит задуматься.

Буду премного рада, если в каменты придут сограждане, которые статистику любят и чувствуют, и увидят они в рассуждениях моих лажу, и разнесут в пух и прах. Я просто этого жажду от всего сердца.

Ну потому что полжизни думать, что ты что-то не понимаешь проще, чем обнаружить, что где-то де-факто липа, и эта липа используется, чёрт возьми, например, в управлении, в медицинских исследованиях или в оценке IQ.

В одном там чате про нейросети упомянули Waymo - беспилотное такси, потихоньку захватывающее рынок.

Посмотрела на Хабре (когда-то чисто программистский форум, теперь общегражданская социальная сеть с остаточным уклоном в программирование), что про них пишут - ни разу раньше об этом бренде не слышала.

Мне кажется, тут типовая история бренда, в сравнении с нетиповой историей внедрения нейросетей. Типовая, это как у бытовых приборов, спорт-товаров с особенностями и так далее.

С точки зрения конечного потребителя ваймо - это типа бытовой прибор, которым можно пользоваться, нажав три кнопки, и дальше занявшись своими делами. Минимизация общения, как на кассах самообслуживания, плюс бонусом снижение риска ДТП (потому что это узкоспециализированная нейронная сеть, натренированная на виртуальном тренажёре на кучу типовых и не очень типовых ДТП).

Хайпа у них много, потому что у них есть миллиарды на хайп, а не только на железо, софт и юридическое сопровождение. Если я правильно поняла, это гугловский бренд. Ну вот как Яндекс.такси, а тут Google.такси. Будь у Яндекса жизнь посвободнее в последние годы, может, тоже бы сделали такую штуку.

Задумалась, как бы это назвать-то. Идемпотентный прибор. Ты его настраиваешь, дальше он всё делает сам, ты только пользуешься результатами.

Термин "идемпотентный" в информатике обозначает такое, скажем, воздействие на базу данных, которое даст одинаковый результат при двойном, тройном и так далее повторении. Скажем, "изменить информацию про юзера Васю: записать юзеру Васе возраст 35 лет". Если вы в таблицу данных юзеров повторно запишете в строчку про Васю, что Васе 35, когда там и так 35, на деле уже ничего не изменится.

Нейросеть-агент якобы тоже идемпотентна с точки зрения пользователя. Ты только, юзер, найди свои эти настройки, что тебе надо, а дальше она будет тебе это штамповать. В конце концов, у ваймо ты же тоже меняешь пункты назначения.

Вот тут какая-то лажа, мне кажется. Агент не идемпотентный, это создаёт ощущение его живости. Как если ты просишь за столом кого-то передать соль. Он в ответ передаёт то правой рукой, то левой рукой, то вообще нагло смотрит и не передаёт ничего. Но ведь он может передать сахар или мышьяк. И каждый раз надо держать ухо востро, потому что там чёрный ящик внутри.

ЗЫ задумалась, а села бы я в беспилотное такси?.. Пожалуй, мне было бы жутковато. А то и прямо конкретно жутко.

Я интроверт, и с момента появления касс самообслуживания пользуюсь в основном ими. Но в беспилотном такси меня бы пугало, что, если вдруг что, как же я из неё выберусь. Сидя внутри одна.

С другой стороны, в такси с человеком всегда есть риск, что у него переклинит, и он куда-нибудь в лес увезёт и так далее.

Я в растерянности.

Предположим, у вас есть возможность, техническая и финансовая (допустим, они уже есть в вашем городе и стоят приемлемо), выбрать беспилотное такси. Как вам такое?

Представьте себе: Базиль сто раз подбрасывает монетку, и каждый раз выпадает орёл. Это нормально?

Да быть такого не может! Либо у нас избирательная слепота на решки, либо монетка фальшивая - с двумя орлами.

В целом естественнее получать что-то поравномернее. А почему так?

Обозначим орлы орлами (вернее, ноликами) и единицами решки. И сложим все результаты по сотне подбрасываний. ЦПТ (центральная предельная теорема) утверждает: "чем больше подбрасываешь, тем ближе будешь в среднем арифметическом к одной второй". Одна вторая - матожидание для равновесной монетки (где вероятность выпадения и орла, и решки именно 1/2).

В этом смысле сотня орлов подряд - дикое отклонение.

С точки зрения суммы, бесспорно, сто решек подряд - это нонсенс. Но почему мы считаем именно сумму?

Вычислим знакопеременную сумму: х1 - х2 + х3 - х4... В этом случае как сотня решек подряд, так и подряд сто орлов будут вполне себе матожидаемыми результатами. А уникальными отклонениями станут "ОРОРОР...ОР" и "РОРОРО...РО".

Что вообще происходит?

Где-то там выше мы не случайно ввели числовые обозначения (орёл и решка -> нолик и единица). Мы теперь можем результат испытаний прочесть как вектор. Стомерный вектор, дело обычное. Очередная вершина стомерного кубика с единичным ребром.

Если мы сделали ровно одно испытание, у нас отрезок вариантов (вернее, концы отрезка: по Ох отметим 0 и 1).

Если мы сделали два испытания кряду, их результаты - это (0;0), (0;1), (1;0) и (1;1), т.е., вершины квадратика, уже на плоскости.

Если три испытания - вершины детского кубика с динозавром и буквой Ю.

Ни одна из вершин полностью симметричного кубика уникальной априори не будет. Следите за руками: берём агрегатную функцию "сумма координат" (линейная функция, постоянная на гиперплоскостях, перпендикулярных направлению главной диагонали, растущей из начала координат, т.е., вектору из сплошных единиц), считаем вершины кубика с одинаковым результатом по этой вот агрегатине, а потом заявляем: ну ой, тут две уникальнейших точки выдались (начало координат, где сплошные орлы, и ровно напротив конец главной диагонали, где одни решки).

Что нам мешало взять другую диагональ? Или вообще не диагональ. Там дофига разных векторов, спроецируем на любой.

Собственно, почему "сплошные орлы" выглядят удивительно? Потому, что подспудно мы сравниваем не с конкретной другой последовательностью, а с набором других: "вероятнее получить что-нибудь равномернее", где этих вот "равномернее" у нас мешок.

В магазине стоит большой ящик картошки. Вы берёте оттуда одну картофелину, откладываете, дальше набираете целую сумку картошки. Переносите в другое место, вываливаете там где-то всю сумку, и тот первый клубень. А берёте одну картофелину. Какова вероятность, что вы скорее взяли нечто, что несли в сумке?

Сравните с утверждением "получить цепочку из сплошных орлов менее вероятно, чем цепочку с чётким чередованием орлов и решек". Или "чем ОРООРРОООРРР..." (одна, одна, две, две, три, три и т.д.) Собсно, каждый отдельный заданный результат, индивидуально, столь же невероятен, как и сплошные орлы.

Каждый отдельный заданный результат из ста испытаний имеет вероятность... вероятность... 1/2^100. Давайте прикинем, что это. Двойка в десятой чуть больше тысячи. В тридцатой - чуть больше тысячи в кубе, т.е., миллиарда. В сотой больше, чем в девяностой, а в девяностой больше, чем куб миллиарда. Одна миллиардная в кубе - вот (в грубой нижней оценке) вероятность получить любую заранее заданную - одну конкретную - последовательность из ста орлов и решек. Любую, а вовсе не только "сплошные орлы".

Ясно, что с точки зрения многомерного кубика ни одна из его вершин не особенная. Но получается так, что в привычной проекции (на главную диагональ из нуля и подобные) образуется очень не равномерное распределение точек по целевому отрезку.

Мне любопытно было узнать, а есть ли другие проекции? На других направлениях, более, так сказать, натуральные для таких кубиков? Чтобы как-то поравномернее получалось, или совсем равномерно? Чтобы проекция помнила все точки лично, а не какую-то агрегатную функцию, типа суммы координат?

Аналогичный вопрос для игральной кости (там исходно многомерные кубики со значениями координат от 0 до 5 - это ребро длины пять, а не шесть, замечу).

Название поста отсюда: многомерная штука с кучей узлов, в форме кубика, это типа кусок многомерной авоськи. Чтобы носить в ней бутылку Клейна, или проекции брать на различные направления.

Я посчитала и для монетки, и для игральной кости случаи "проецируем на вектор из сплошных единиц / вектор из натуральных чисел подряд / вектор из простых чисел подряд / и ещё там один". Делала следующим образом: собирала массив из скалярных произведений вершин с целевым направлением (на кого проецируем), упорядочивала по возрастанию, нормировала. Дальше строила графики типа интеграл плотности распределения: чёрный - по проекции на вектор из единиц (т.е., сумма координат), синий - на вектор из натуральных подряд, красный - из простых чисел подряд, а оранжевый - я пока не скажу.

Главное, на оранжевом - равномерное распределение.

Зацените глюковину: можно авоську Клейна спроецировать на такой вектор, что в результате получится равномерная плотность. Без вообще какой-либо потери в данных (в отличие от убогой суммы координат).

Комментарий к картинкам: почему всего девять подбрасываний монетки и лишь четыре подбрасывания игральной кости. Ну потому что получаются большие массивы данных, и довольно высокие графики даже при шаге вверх на полпикселя. Не помещалось в экран, короче. Ну или так помещалось, что ничего по делу там уже не разглядишь.

Внимание: кто придумал, что за оранжевый вектор, я вам специальный камент сделаю к этому посту - чтобы там можно было бы написать "я придумал!!!" Только ответ пока не пишите - дайте другим помучиться, имейте совесть.

Как я вообще вот этим всем занялась. Я репетитор, по математике с информатикой. Но только по математике я ближе к алгебре - с чистой абстракцией мне возиться приятно, а вот с реальностью так себе. Ну и статистика, как я думала, мне не под силу.

В прошлом году, однако, сразу двое студентов (матано-линальных) стали очень просить, чтобы я с ними продолжила в этом году про матстат. Я сначала поотпиралась, но потом вдумалась - нафиг терять доходы (передавать их коллегам), и взялась разбираться. Ибо, в конце концов, теорвер для начала - чистая комбинаторика, это я всё же умела.

И накупила я себе тонну книжек про эту вашу статистику. И закопалась там, и людей доставала вокруг, до кого дотянулась. Кто хоть какие-то знания в этом предмете имел.

Ну так и вот. Мой вывод - это нормально не понимать. Ну потому что понять, почему главная диагональ многомерного кубика уникальна, нельзя. Нипочему потому что. Не уникальна, и всё, вот.

Долго думала, стоит ли об этом писать. Я на днях впервые в реале увидела человека с полностью скрытым лицом и всем остальным. Понятно, что женщину.

Ощущение, как в том фильме по Толкину, когда всадники ищут Фродо.

Правда, Фродо - не я. Ну, пока что. От этого чуть спокойнее.

Неслась она очень быстро. Прошла сквозь меня. Обычно метров за 20-30 начинаются танцы - кто правее берёт, кто левее, чтобы лбами не вмазаться. Ну либо кто-то демонстративно прёт на тебя. А тут - марсианские хроники. Другое пространство.

Она говорила по-русски с ребёнком, бежавшим рядом. Настолько чисто, что можно подозревать диплом филфака хорошего ВУЗа. Ребёнок при этом мальчик. Растущий в контакте с женщиной в такой одежде. В такой одежде, которую на пустом месте не носят.

А поравнялась я с ней прямо у моего дома. Не где-то там в центре города, не в большом магазине, где просто много людей. Практически у моего подъезда, что не добавляет комфорта.

С тех пор смотрю каналы правых в Европе. Как, например, сегодня выглядит Лондон. Немного в шоке.